Números trascendentes

pi

No se trata de números que estén más allá del conocimiento ni que traspasen ninguna frontera de experiencia, como podría parecer si acudimos al diccionario. Trascendente significa no algebraico en términos matemáticos.

Veamos qué significa eso.

No son números enteros (ni 2, ni 3, ni 18…), ni son racionales (ni 2/3, ni 4/5, ni 7/12…). Entonces son irracionales, es decir, son números que no son expresables como fracción de dos números enteros. Aunque la parte decimal de algunos números racionales sea infinita, habrá una secuencia que se repetirá indefinidamente, que será periódica. En cambio los números irracionales tienen partes decimales infinitas y no periódicas de secuencia impredecible.

Pero ello ocurre también con los radicales (√2, √3…), así que deberemos establecer otra condición para definir los números trascendentes: no pueden ser descritos como la raíz de una fracción, lo que implica que no son solución de una ecuación algebraica (anxn + an-1xn-1+ a1x +…+ a0 =0) y se les llama no algebraicos.

Así tenemos que todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes y que los trascendentes son no algebraicos.

Esta distinción entre irracionales algebraicos y trascendentes se hizo en el siglo XVIII y el interés en esta diferenciación se intensificó en el siglo XIX al comprobar que no todos los irracionales algebraicos se podían obtener por operaciones algebraicas sobre números racionales.

Pero… ¿cuáles son estos números?

Hay muchos una infinidad, pero los más conocidos son el número e y π (pi). Sus valores aproximados son:

π=3,14159265358979323846…

e=2,7182818284590452354…

Pero ¿por qué se «inventan» los matemáticos esos números tan largos y tan raros? ¿De dónde los sacan?

Pues no se los inventan, son números que aparecen continuamente de manera natural al modelizar fenómenos naturales. En cualquier campo de la matemática, donde uno menos lo espera. Por ejemplo en la desintegración nuclear, en el movimiento oscilatorio, en algunas conchas de moluscos en espiral logarítmica, en la velocidad de vaciado de un depósito de agua, en el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, en el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil, en el patrón de crecimiento de una planta o en el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto.

 

 

Nota sabionda: Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo: en la constante cosmológica, en el principio de incertidumbre de Heisenberg, en la ecuación de campo de la relatividad general, en la ley de Coulomb para la fuerza eléctrica, en la permeabilidad magnética y en la tercera ley de Kepler.

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Entrada elaborada a partir de la información ofrecida aquí, aquí, aquí y en otros sitios más.

15 comentarios

  1. Sin embargo, las «ecuaciones trascendentes» no tienen por qué tener números irracionales, son ecuaciones que no se pueden resolver de forma algebraica.

    Me ha gustado esta anotación y se la voy a aconsejar a mis alumnos.

  2. Pingback: meneame.net
  3. Casi todos los números trascendentales son fáciles de encontrar en toda la ciencia ya sea ? en todo lo relativo a las circunferencias y a la trigonometría (como las ondas y los campos magnéticos) o e en todo lo que tenga que ver con lo exponencial pero el número que mas ha dado de sí estos últimos años ha sido la sección áurea de la que creo haber visto como 20 artículos ensalzándola y ensalzando sus apariciones. Se conoce más comunmente como ? y está relacionado con la famosísima serie de Fibonacci

  4. Bonito artículo.

    Una puntualización:

    cuando digas «muchos» en matemáticas, debes especificar un poco más. Tal y como hay una infinidad más de irracionales versus racionales, hay una infinidad más de trascendentes versus algebraicos.

    E.T. Bell lo dijo muy elocuentemente:

    Los números algebraicos se localizan en el plano como las estrellas sobre un cielo oscuro; la densa oscuridad es el firmamento de los números trascendentes.

  5. a omalaled
    Cierto, «muchos» es muy poco preciso, además de dar la sensación de que son una especie de rareza, cuando es todo lo contrario.
    Ya he corregido el texto. Gracias.

  6. Otra curiosidad es que uno de estos dos e^PI ó PI^e (no recuerdo cual ahora mismo) se sabe que es trascendente. El otro no se sabe, ni siquiera si es irracional.

  7. También aparece en el calculo de areas de funciones continuas y en otras fromulas mátematicas como el volumen de una esfera u el area de una circunferencia

  8. Pi también sale en la formula del calculo de volumenes de revolución (también en funciones)

  9. Hola que tal. Tengo una pregunta, me recuerdo que hace tiempo vi una relación que existe entre 5 números irracionales, eran:

    Pi e I Fi ??? = 10; o algo así donde I es número imaginario elevado al número imaginario si no mal recuerdo……… pero no logro encontrar por ningun lado de nuevo esta relación, y me interesa mucho, ya que al menos se ya el origen de 4 de esos números, solo desconozco el ??? que creo que era un número de Descartes o algo parecido. Muchas gracias.

  10. Para Tito Eliatrón:

    el trascendente es e^pi ; y se deriva del Teorema de Gelfond que dice que un número es trascendente si

    a) la base es algebraica (distinta de cero o uno)
    b) el exponente es irracional.

    http://mathworld.wolfram.com/GelfondsTheorem.html

  11. Porque cuando sacas raiz cuadrada de un número decimal, el resultado es mayor que el número inicial, y si sacas el cuadrado el resultado es menor.

  12. a Roberto
    Eso que dices no es posible. Quizás quieras replantear la pregunta o poner un ejemplo de a qué te refieres.

  13. Roberto, supongo que te refieres por qué pej 0,5 x 0,5 = 0,25 ; Visualizalo como fracciones: 1/2 x 1/2 = 1/4 . Intuitivamente esta multiplicación lo que te está diciendo es que la mitad de la mitad es un cuarto. Cosa totalmenete lógica.

    Saludos.

  14. Es interesante la informacion, pero si, para conseguir el «numero pi», se deben hacer calculos matematicos, mi duda es saber ¿cuál es la ecuación matemática que se realiza para conseguir el resultado que ya sabemos que es 3,14…???…si lo sabeis escribirme
    gracias

  15. Es increíble que no sepamos mucho de los irracionales trascendentes. Es un conjunto en el que no se sabe, por ejemplo, si es cerrado para la operación multiplicación. En otras palabras, no se sabe con certeza si el producto de dos de estos números es otro de ellos.

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