Un caleidociclo es una forma geométrica tridimensional dotada de giro.
El término aparece por primera vez en el libro M.C. Escher Calidociclos de Scahttschneider y Wallace (1977), y se deriva de los vocablos griegos: cali, ‘belleza’; eidos, ‘forma’ y ciclo, ‘volver al punto de origen’.
Se construyen generalmente en papel y se usan en diseño gráfico, como material didáctico de cuestiones matemáticas y geométricas y como entretenimiento.
Vamos, pues, a entretenermos construyendo uno. Sigamos los siquientes pasos:
Primero imprimir la siguiente plantilla (mejor en horizontal y ocupando toda la hoja).
Recortar y marcar las dobleces siguiento todas las líneas.
Encolar los rombos de la parte inferior en las pestañas (con la leyenda “encolar”) de la parte superior. Para ello, el vértice inferior del rombo coloreado en amarillo se lleva, por debajo, hasta volver a subir por el lado superior y entonces se encola en la correspondiente pestaña.
Se hace lo mismo con las otras pestañas.
Finalmente, las dos pestañas sin leyenda del lateral se encolan y se introducen el en hueco que queda en el otro extremo, cerrando el anillo. El caleidociclo ya está montado. Ahora se puede decorar o, si se prefiere, se puede hacer sobre la plantilla antes de doblar y pegar.
Aunque desde la Antigüedad eran conocidos los principios de la simetría de reflexión y se pulían piezas de piedra caliza para formar ángulos y observar las imágenes multiplicadas, no fue hasta 1816 que el inglés David Brewster desarrolló una versión contenida dentro de un tubo y la denominó caleidoscopio.
El caleidoscopio es un juguete infantil clásico, de gran sencillez y resultados sorprendentes. Su propio nombre nos habla de su función: del griego kalós, ‘bello’, éidos, ‘imagen’ y scopéo, ‘observar’, es un aparato para observar bellas imágenes.
Se trata de un tubo que contiene tres espejos, dispuestos con su parte reflectante hacia el interior, de tal forma que forman un prisma de lados rectangulares y base triangular. En uno de los extremos se encuentran dos láminas traslúcidas entre las que se disponen plásticos, cristales o cuentas de colores y formas diferentes, cuyas imágenes se ven multiplicadas simétricamente al ir girando el tubo mientras se mira por el extremo opuesto.
Al dirigir el caleidoscopio hacia la luz, se pueden ver las formas contenidas en el triángulo basal, sus reflexiones en los tres espejos y las refexiones entre éstos, de manera que se puede observar un dibujo con varios ejes de simetría de una gran belleza geométrica.
Utiliza el ratón y las teclas del cursor sobre la imagen.
Además del descrito existen diferentes tipos de caleidoscopios: el caleidoscopio de agua, el caleidoscopio de disco, el caleidoscopio polarizado y el teleidoscopio.
El caleidoscopio de agua tiene las piezas de plásticos de colores suspendidas en agua, lo que provoca un lento movimiento contínuo de las mismas.
El caleidoscopio de disco sustituye las cuentas de colores por un disco de plástico coloreado, lo que limita bastante las combinaciones posibles.
El caleidoscopio polarizado sustituye la parte inferior por un cristal polarizado, de manera que la figuras que se forman están compuestas por la irisada descomposición de la luz que lo atraviesa.
El teleidoscopio sustituye la parte inferior de los cristales o plásticos por una lente. Así, lo que se ve bajo el filtro de los prismas son los objetos cotidianos a los que lo dirigimos.
Nota sabionda: Aunque lo más común es que contenga tres espejos que formen entre ellos tres ángulos de 60º, los espejos pueden ser más —y consecuentemente otra la medida de los ángulos— para la obtención de diferentes efectos.
Vamos a concretar un poco. Los dos clips se encuentran sujetos en ambos extremos de una tira de papel (fig.1) y, sin tocar los clips, hemos de conseguir enlazarlos (fig.2). Bueno, sigue pareciendo imposible. A menos, claro, que se sepa como hacerlo.
fig.1 fig.2
Vamos a ver la sencilla manera de completar esta proeza y asombrar a nuestros amigos.
Con mucho cuidado de no tocar los clips (condición impuesta) y tocando solamente el papel, hay que plegarlo en tres partes más o menos iguales. Un pliegue hacia un lado y el segundo hacia el otro, en forma de acordeón.
Ahora hay que conseguir que el primer clip sujete también el pliegue del papel y que el segundo clip también lo haga, tal como muestra la imagen. No es difícil, pero requiere un poco de maña y práctica deslizar el papel entre el clip sin tocarlo. Si, por un casual, empujamos un poco el clip y sobresale del papel, un ligero toque contra la mesa bastará para ponerlo en su lugar.
Ahora sujetamos la tira de papel con una mano en cada extremo y tiramos hacia fuera, separando las manos. Los clips se acercan como se aprecia en la imagen. Un tirón y… ¡los clips saltarán enlazados!
Prueba algunas veces para encontrar la velocidad que te proporciona mejor resultado y prepárate para sorprender a tus amigos.
Y ya que estamos puestos puedes aprovechar la tira de papel para otro juego. Practica un par de cortes siguiendo los pliegues anteriormente marcados sin llegar a cortar el papel por completo. Ahora desafia a tus amigos a que lo partan la tira de papel en esos tres trozos estirando de los extremos como en el caso anterior. Les será imposible, siempre se parte en dos.
Hay una forma de hacerlo, por supuesto: sujeta la tira de papel por sus extremos y acércatela a la boca, sujeta el tramo central con los labios y estira. ¡Conseguido! Un poco de humor siempre viene bien.
Nota sabionda: Hay un truco parecido al de enlazar los clips igualmente sencillo y sorprendente. Desafia a tus amigos a coger un cordel un extremo con cada mano y, sin soltar los extremos, hacer un nudo. ¿Imposible? De nuevo no. Cuando se hayan cansado de probar y probar, crúzate de brazos. Y en esa postura coge ahora un extremo del cordel y luego el otro. Y, sin soltar los extremos, descruza los brazos. ¡Y se obra el prodigio!
¿Quién no ha jugado con globos? Golpeándolos con la mano o pateándolos, inflándolos con helio para soltarlos hasta el techo de la habitación o llenándolos de agua para lanzarlos como proyectil. ¿Qué niño no ha echado unas lágrimas cuando el nudo que lo sujetaba a su muñeca se aflojó y el globo cargado de helio se elevó y se elevó hasta perderse en la distancia?
Los globos de colores se usan también como elementos decorativos en fiestas, como soporte publicitario y como partes de espectáculos con sueltas masivas, además de como juguete infantil. Pero… ¿de dónde salen todos esos globos? ¿Cómo se fabrican?
A continuación un video que explica el proceso de fabricación.
fábrica de globos
Nota sabionda: Los primeros globos estaban hechos de vejiga animal, al igual que los primeros profilácticos.
Un estereograma es una imagen tridimensional oculta en una imagen bidimensional, sin ningún tipo de polarización ni emulsión. Su visualización se realiza sin gafas especiales ni lente alguna, simplemente realizando un pequeño esfuerzo de concentración visual y mental.
Esta ilusión óptica se fundamenta en la manera que nuestro cerebro compone la imagenes, en nuestra visión estereoscópica. Cada ojo capta una imagen ligeramente diferente. El cerebro las procesa y, al superponerlas, obtiene volúmenes y distancias. Así, los estereogramas esconden en su patrón dos imágenes similares con ligeras diferencias, colocadas de tal modo que se logra la visión tridimensional al interpretar el cerebro esas diferencias como volúmenes y profundidades.
No es fácil ver un estereograma, de eso puedo dar fe; pero una vez se aprende la técnica es relativamente sencillo. La idea es desenfocar la vista de la imagen, de manera que al no fijarla en la imagen bidimensional podamos captar la perspectiva, porque si miramos al plano de la imagen directamente, sólo veremos una textura plana. La imagen virtual se forma cuando los ojos se concentran detrás del plano de la imagen, como si quisiéramos ver a través de ella, con la mirada perdida que se suele decir.
Como nuestros ojos no están acostumbrados a hacer semejante cosa sino a converger sobre la imagen, se requiere un poco o un mucho de paciencia para aprender a verlos. Algunas personas los ven casi instantáneamente mientras que a otras les lleva horas.
Un buen método para verlos es mantener la imagen a unos 40-50 cm de distancia y fijar nuestra vista en algo que esté por detrás de ella otros 40-50 cm, aunque hay quien la enfoca al infinito. Cuando la vista está fijada por detrás y, como consecuencia, el estereograma desenfocado, debemos trasladar la mirada sobre la textura pero sin cambiar el enfoque y dejar nuestra vista perdida hasta que la imagen 3D aparezca.
Si la textura borrosa o desenfocada se vuelve nítida significa que nuestros ojos la han enfocado, así que deberás repetir el proceso hasta que esto no ocurra. Si consigues ver algún vago efecto de profundidad vas por buen camino, pero no te conformes, la sensación de visión tridimensional de los estereogramas es muy vívida y clara.
A continuación algunos estereogramas para practicar. En ellos las imágenes tridimensionales ocultas son: una flor, un corazón, una copa y una estrella. ¡Suerte!
Pero… ¿cómo funcionan?
En una imagen estereoscópica, los puntos que la componen están dispuestos aparentemente al azar, pero siempre cada punto tiene asociado otro punto gemelo, dibujado a una pequeña distancia de unos 3 cm, que es la distancia media entre ojos.
El truco de la visión estereoscópica consiste en que la distancia entre los puntos gemelos no es siempre constante, sino que es modificada mediante unos cálculos que representan la profundidad a la que debe ser visualizado dicho punto. Al observar la textura, nuestro cerebro interpreta esas diferencias de distancia como profundidad.
En el diagrama observamos la superficie de la imagen a mostrar en 3D representada por una línea azul y el plano de la textura o imagen 2D por una línea verde.
Para empezar fijamos la vista en el punto real 1 y de esta manera se crea la pareja (1i,1d) que al ser enfocada nos dará la sensación de profundidad del punto real 1. Pero el punto 1d también es visto por el ojo izquierdo, así que seguimos esa trayectoria a través de 1d hasta el punto 2 de la superficie, o lo que es lo mismo miramos a través de 1d con el ojo izquierdo hasta topar con el punto 2. Así ese punto real corresponde a la pareja (2i,2d).
Aplicando el procedimiento de forma iterativa vamos creando puntos en la línea determinada por nuestro plano de visión en el plano de la imagen, hasta que completamos totalmente una línea horizontal.
Como si de un televisor se tratase se ha de repetir el mismo proceso para cada una de las líneas horizontales que componen la imagen. Y así lograr la composición de estereogramas tan excelentes como el siguiente, en el que se puede ver a una mujer sentada en un extremo de un sofá con las piernas cruzadas.
Nota sabionda: En términos científicos, estas imágenes son conocidas como Single Image Random Dot Stereograms, es decir, ‘estereogramas de punto aleatorio de una sola imagen’. En realidad cada una de estas imágenes se componen de una nube de puntos aleatorios, sin ninguna conexión aparente, pero que tras de sí esconden una figura perfectamente definida y que además es visualizada en unas sorprendentes tres dimensiones.
Nota sabionda: El descubridor de estas imágenes planas tridimensionales fue el doctor Bella Julesz en los años 60. Durante sus estudios sobre la percepción de la profundidad en los seres humanos, Julesz generó por ordenador pantallas de puntos aleatorios carentes de forma y color, de manera que si la imagen era captada por el individuo, tan sólo podría ser por su profundidad tridimensional, no por su forma o color.
Nota sabionda: Las imágenes estereoscópicas son visualizadas generalmente mediante una polaridad larga, es decir, enfocando la visión por detrás del plano. Sin embargo para algunas personas es más sencillo ver la imagen utilizando la polaridad corta, enfocando por delante del plano de visión. Cualquier imagen puede contemplarse de las dos formas, pero la profundidad de percepción se invertirá en ambos modos, de forma que lo que en un modo parece salir del plano en otro parece hundirse como un bajorrelieve y viceversa.
Para experimentar el efecto óptico propuesto es necesario ejecutar el siguiente video y seguir sus instrucciones. A saber:
mantenerse cerca de la pantalla (40 o 50 cm serán suficientes).
fijar la vista en el punto central de la espiral.
cuando la espiral desaparezca mantener la mirada en la imagen siguiente.
Por supuesto, te garantizo que no aparecerá ningún zombi aullante ni ninguna niña del exorcista profiriendo un alarido desgarrador, como ocurre en algunos de estos videos.
¿Qué tal? Alucinante, ¿no?
Ahora prueba como dice el video a mirar el dorso de tu mano en cuanto la espiral deje de girar. También impresiona.
¿Y por qué ocurre esto?
Esta ilusión es un ejemplo de efecto óptico post-movimiento que fue descrito por primera vez por R. Addams en los primeros años del siglo XIX, tras haberlo experimentado después de mantener fija su mirada durante varios segundos en una cascada y después desviar la vista a otro objeto. Es por ello que también se le conoce como “efecto cascada”.
En los años 70 varios psicólogos estudiaron el fenómeno. En un artículo publicado en enero de 1977 en Scientific American por Robert Sekuler y Eugene Levinson, titulado The Perception of Moving Targets, se da la explicación: el cerebro posee diferentes detectores de movimiento para cada una de las direcciones de movimiento posibles. Estos detectores producen una fuerte señal cuando hay movimiento y una señal débil, aunque no nula, cuando no lo hay.
Cuando estos detectores están equilibrados no se percibe movimiento. Pero cuando algunos de ellos se ven fuertemente estimulados por un movimiento en una dirección determinada, se sobreestimulan o fatigan. Así que, cuando el estímulo desaparece, los detectores de movimiento de la dirección contraria producen una fuerte señal durante unos segundos hasta que los primeros se recuperan.
Son legión los juegos de adivinación con números. Todos ellos basados en operaciones matemáticas y sorprendentes descubrimientos.
Vamos a ver uno de ellos a continuación, para poder hacerlo a los amigos y sorprenderlos.
Por supuesto que, una vez analizado, es de una sencillez abrumadora, pero de entrada las operaciones desconciertan y el resultado es sorprendente.
Para llevarlo a cabo comunicaremos a nuestro interlocutor que va a realizar unas sencillas operaciones matemáticas, pero que tienen que estar bien hechas para que el juego funcione. Le daremos papel y lápiz o una calculadora para que ejecute los cálculos.
Debe hacer lo siguiente:
escribir el número de calzado que gasta
multiplicarlo por 2
sumarle 5
multiplicar el resultado por 50
restar al número obtenido el año de su nacimiento
sumar al número obtenido 1758
El resultado final es un número de cuatro cifras: las dos primeras indican su número de calzado y las segundas su edad.
Veamos un ejemplo calzando un 40 y habiendo nacido en el año 1948:
40×2=80
80+5=85
85×50=4250
4250-1948=2302
2302+1758=4060 (calza un 40 y tiene 60 años)
Veamos ahora la explicación:
El número de calzado se multiplica por 2 y luego por 50, lo que equivale a multiplicarlo por 100. Con ello se consigue colocar el número de calzado en las unidades de millar y en las centenas (las dos primeras cifras) y que las las otras dos sean cero. Claro que también tenemos un 5 que al multiplicarlo por 50 nos da 250, pero ya nos ocuparemos de él más adelante.
Si al año actual se le resta el del nacimiento se obtiene la edad. Entonces si a un número se le suma el año actual y se le resta el del nacimiento y luego se resta el número original queda de nuevo la edad, lógicamente. Como la edad será cuestión de dos cifras podemos obviar la cifra inicial (tenerla en cuenta y luego restarla) si el número origen en cuestión es múltiplo de 100.
Para que la maniobra no sea tan evidente entra en juego el 250 anterior. Y lo hace de la siguiente manera: año actual-250=cifra a sumar. Como estamos en el 2008, se ha de sumar 1758.
De hecho es este número 5 convertido en 250 el que hace que la maniobra no sea obvia.
Una aclaración final: las dos últimas cifras señalan la edad a cumplir en el presente año, así que puede que no se tenga la edad si el juego se realiza antes del cumpleaños. Así que es conveniente aclarar al final del juego que las dos últimas cifras señalan la edad cumplida o a cumplir en el presente año.
De nuevo un truco con una baraja. En esta ocasión se trata de predecir la carta que resultará elegida tras unas manipulaciones que realizará totalmente nuestro interlocutor.
El truco resulta mucho más efectivo si lo realizamos con una baraja española que nos presten en ese momento, puesto que eliminará suspicacias y nos proporcionará una estupenda excusa para comprobar la baraja (que esté completa, que tenga ochos y nueves o no los tenga…). Si la baraja es nuestra también podemos comprobarla tras hacer que la barajen, diciendo que queremos ver que estén bien mezcladas.
Más adelante veremos qué es lo que en realidad comprobamos, pero antes la exposición del efecto.
Se pide que barajen y corten la baraja tantas veces y tanto rato como crean necesario, incluso por parte de varias personas.
Cogemos la baraja y pasamos despreocupadamente las cartas para comprobar qué tipo de baraja es, si tiene ochos y nueves, si está completa…
Devolvemos la baraja a nuestro interlocutor y le pedimos que la corte en dos partes aproximadamente iguales y que mantenga la superior en sus manos.
Adoptamos una pose pensativa, como si meditásemos y escribimos secretamente el nombre de una carta en un papel, lo doblamos y lo dejamos en la mesa a la vista de todos.
Pedimos que retire tres cartas cualquiera del paquete que tiene en las manos y que el resto lo coloque sobre la mitad inferior que ya estaba en la mesa.
Ahora debe colocar esas tres cartas boca arriba sobre la mesa.
Le pedimos que coja todo el montón de cartas y que coloque sobre cada una de las cartas que están vueltas sobre la mesa, tantos naipes como van desde el número de la carta hasta doce. Es decir, si la carta es un 5 por ejemplo, deberá ir poniendo encima 7 cartas una a una e irlas contando en voz alta: seis, siete, ocho… si fuera un 2 debería poner 10 y si fuera un 12 ninguna.
Ahora deberá sumar los números de las tres primeras cartas. Si por ejemplo eran un 6, un 3 y un 8, la suma es de 17.
Le pedimos que busque por encima de la baraja la carta que se corresponda con la suma y que la deje aparte, bocabajo. En el caso del ejemplo será la decimoséptima.
Hacemos notar que no hemos tocado para nada la baraja y que todas las manipulaciones han sido realizadas por otra persona. Que las cartas han sido elegidas libremente, que era imposible predecir el valor de su suma y que lo era aún más conocer el naipe que se encontraría en tal posición. Pero que, gracias a los poderes de la mente, ha sido posible realizar la predicción.
Se pide que se gire la carta, que se desdoble el papelito y que se compruebe que en el papel… ¡hemos anotado la carta elegida!
¿Y cómo hemos hecho eso? Pues muy fácil, porque se trata de un efecto mecánico que no requiere de orden preliminar en las cartas. La única condición es que la baraja esté completa. En caso de duda, es preciso contar las cartas antes de empezar el juego.
Si lo hacemos con el dorso hacia arriba podemos aprovechar para hacer nuestra comprobación. ¿Y cuál es la comprobación que antes dejamos para el final y que se corresponde con el punto número 2?
Pues si la baraja es de 48 cartas lo que hacemos es fijarnos en la que ocupa la décima posición mirándola cara arriba (la 39 mirándola por el dorso) y ésa será la carta objeto de la predicción, la que debemos anotar en el papelito y la que se elegirá tras todas las manipulaciones.
Si faltan cartas en la baraja, el número de cartas que falte se deberá restar de 10. Así que si faltan 3, deberemos visualizar la séptima por delante.
Si la baraja es de 40 cartas (sin ochos ni nueves) la carta a memorizar es la segunda.
Si le faltan más de dos cartas no se puede hacer el juego, así como si le faltan más de diez a la baraja completa.
Hay montones de ilusiones ópticas, pero pocas tan sorprendentes como ésta que se puede ver en la imagen.
¿Dónde está la ilusión? se preguntará el curioso, si tan solo hay dos trozos de plástico: uno anaranjado más pequeño y otro rojo más grande.
Pues… ¡ahí está! la pieza anaranjada y la pieza roja son exactamente iguales. Pero ahí no acaba la cosa, si intercambiamos el orden de las piezas, ahora parecerá que la anaranjada es mayor que la roja.
Entiendo que, aún sabiendo que la perspectiva puede deformar nuestra percepción y que la forma de las piezas puede contribuir al efecto, cueste creerlo. Por ello nada mejor que ver un video ilustrando lo dicho.
demostración para incrédulos
Un psicólogo estadounidense llamado Joseph Jastrow descubrió en 1899 que, cuando colocamos dos figuras iguales muy cerca una de la otra, podemos tener la sensación de que una es mayor que la otra en tanto que intervengan líneas curvas y ángulos no rectos. Por eso se le conoce como Ilusión de Jastrow. Los dos nuevos ejemplos también ilustran el efecto aunque de manera menos sorprendente y acusada.
También se puede acentuar el efecto dando un color contrastado a cada uno de los lados de las piezas. Se puede aplicar color amarillo o cualquier color claro al borde exterior del arco y color azul o cualquier color oscuro al borde interior, yendo de uno a otro por medio de un degradado. Esto es así porque los colores oscuros acentúan la sensación de pequeñez y los colores claros la de amplitud.
Y no, no hay ningún tipo de truco. Que la curvatura del lado inferior sea idéntica al superior, que los lados sean unas líneas inclinadas que no forman ángulo recto y nos obligan a desplazar la pieza superior hacia la izquierda para alinear ambas, y nuestra propia percepción de la perspectiva obran el engaño: creemos ver lo que no vemos.
Si sientes curiosidad por comprobarlo no tienes más que imprimir la imagen adjunta y probar con el par de piezas. ¡Ah! y no dejes de sorprender a tus amigos con ellas.
La papiroflexia u origami es el arte y habilidad de dar a un trozo de papel, doblándolo convenientemente, la forma de determinados seres u objetos.
Se ha de obtener la figura deseada con una sola hoja de papel, doblando y doblando, para que el trabajo sea meritorio. Aunque en trabajos realmente complicados se admite el uso de dos hojas de papel, no es lo deseable.
Son incontables las figuras que se pueden obtener y las podemos encontrar desde las muy sencillas a las complicadísimas.
A continuación una muy sencilla y poco conocida: la de un velero. Basta ya del clásico barquito de toda la vida. Cambia tu diseño y sorprende a las amistades.
Los pasos a seguir son los siguientes:
Coge una hoja de papel cuadrada y colócala frente a ti como un rombo. Lleva los vértice izquierdo y derecho hasta el centro. Primero uno y luego el otro (como para una avión de papel). Marca los pliegues.
Coge el vértice derecho que acabas de llevar al centro y llévalo hasta el borde doblándolo por la mitad.
Marca el pliegue.
Introduce el lado izquierdo sin doblar bajo el derecho doblado. Lleva el vértice inferior hacia la izquierda por debajo del pliegue que hace de vela y marca el pliegue cuando forme un ángulo de 90º.
Marca el pliegue para ambos lados.
Con cuidado vuelve el pliegue al revés (como la cola de la pajarita de papel). No importa que los pliegues que forman las velas se separen, ya las colocaremos en su lugar de nuevo.
Marca un pliegue horizontal en el vértice inferior. Márcalo hacia ambos lados. Con cuidado lo volvemos del revés como en el paso anterior, pero en esta ocasión para adentro. Así le creamos una base para que se sostenga. La ahuecamos un poco y listo.
Como puedes comprobar es más difícil explicarlo que hacerlo. Ya tienes en tus manos un original velero de papel en unos pocos segundos.
En el diagrama observamos la superficie de la imagen a mostrar en 3D representada por una línea azul y el plano de la textura o imagen 2D por una línea verde.
Son legión los juegos de adivinación con números. Todos ellos basados en operaciones matemáticas y sorprendentes descubrimientos.
De nuevo un truco con una baraja. En esta ocasión se trata de predecir la carta que resultará elegida tras unas manipulaciones que realizará totalmente nuestro interlocutor.
Un psicólogo estadounidense llamado Joseph Jastrow descubrió en 1899 que, cuando colocamos dos figuras iguales muy cerca una de la otra, podemos tener la sensación de que una es mayor que la otra en tanto que intervengan líneas curvas y ángulos no rectos. Por eso se le conoce como Ilusión de Jastrow. Los dos nuevos ejemplos también ilustran el efecto aunque de manera menos sorprendente y acusada.
La papiroflexia u origami es el arte y habilidad de dar a un trozo de papel, doblándolo convenientemente, la forma de determinados seres u objetos.